Metrologia
Większości ludzi pojęcie metrologia kojarzy się z przewidywaniem pogody. Jednak nauka o pogodzie nazywana jest poprawnie meteorologią. Natomiast metrologia jest nauką o pomiarach, jej określenie pochodzi od znanej wszystkim jednostki długości.
Istnieje oddzielna nauka o pomiarach? Tak, na początku wydaje się to co najmniej zabawne, szczególnie, gdy myślimy o pomiarach długości lub masy, czyli takich, które wykonujemy na co dzień. Zauważmy jednak, że pomiary są fundamentalną częścią fizyki. Bez nich nie można byłoby stworzyć żadnej teorii opisującej świat wokół nas.

Rozwój fizyki jest możliwy dzięki coraz dokładniejszym pomiarom. Wyobrażacie sobie badanie cząstek elementarnych przy użyciu zwykłej linijki? Wyobrażacie sobie skonstruowanie zegarka, gdyby dokładniejsze pomiary nie były możliwe? Rozejrzyjcie się wokół siebie i zastanówcie, kiedy mierzenie z dokładnością do milimetrów ma sens? Przypominam, że mierzymy nie tylko długość, ale również masę i wiele innych wielkości. Tym, którzy biorą udział w Olimpiadzie Fizycznej polecam przyswojenie sobie poniższych pojęć, ponieważ rachunek błędów i niepewności jest wymagany na części doświadczalnej.

Przykład

Aby pokazać Wam, jak bardzo błędne są pierwsze skojarzenia użyję przykładu. Zmierzymy przyspieszenie ziemskie. Wszyscy kojarzą, że wynosi ono około 9,81 m/s². W zadaniach wartości wielkości fizycznych zapisujemy z pewną dokładnością. To znaczy, że za tą jedynką nie są już tylko zera, ale inne cyfry, których uwzględnianie (z różnych powodów) nie ma sensu. Zapis 9,81 m/s² można uznać wobec tego za symboliczny, operujemy przybliżeniem wartości, a nie dokładną wartością. Jakiego przybliżenia użyć? To zależy, do czego potrzebny jest nam wynik oraz jaką dokładność innych wielkości przyjmiemy.

Ale to jeszcze nie są pomiary!

Sprawa komplikuje się bardziej, gdy mówimy o pomiarach wielkości fizycznych. Niemożliwe jest wyznaczenie ich z dowolną dokładnością. Wartości prawdziwe są nieznane, a wręcz niepoznawalne ze swojej natury. Wobec tego przy dokonywaniu pomiarów musimy określić ich „dokładność”. Aby zwiększyć tę „dokładność”, pomiar powinniśmy powtórzyć wielokrotnie. Dopiero wtedy możemy powiedzieć coś o wielkości mierzonej. Abstrahując od metody pomiaru przyspieszenia ziemskiego, załóżmy, że otrzymaliśmy wyniki (w m/s²) 9,80, 9,79, 9,81. Średnia arytmetyczna wynosi 9,80 m/s². Zdrowy rozsądek podpowiada nam, że ta średnia powinna być bliska wartości prawdziwej.

A miało wyjść 9,81 m/s²…

W tym momencie dochodzimy do sedna zastosowań metrologii, czyli interpretacji otrzymanych wyników. Najważniejsze pojęcia metrologii to błąd i niepewność. Ich nazwy dość dobrze oddają to, co określają. Błąd to różnica między wartością prawdziwą a wskazaniem przyrządu. Możemy spotkać się z błędem nadmiernym, czyli takim, w którym zmierzona wartość znacząco odbiega od tego, co uznalibyśmy za rozsądną wartość w oparciu o nasze doświadczenia. Pojedynczy pomiar obarczony błędem grubym odrzucamy, ponieważ nie ma sensu się nim zajmować. Innym rodzajem błędu jest błąd systematyczny, czyli taki, który cały czas wpływa na wynik w określony sposób. Taki błąd eliminujemy poprzez przyjęcie poprawki, którą dodajemy do otrzymanej wartości. Niepewność jest czymś zupełnie innym. Jest ona związana z błędami losowymi. Określa ona przedział, w którym z dużą pewnością znajduje się prawdziwa wartość. Niepewność możemy zmniejszyć poprzez wykonanie większej liczby pomiarów.

Dość nudnych definicji!

Wybrałem i wyjaśniłem trzy ważne pojęcia, które powinny wystarczyć nam do analizy przykładu mierzenia przyspieszenia. Przyspieszenie możemy mierzyć przy pomocy wahadła matematycznego. Otrzymaną różnicę między wartością, której się spodziewamy, a wartością 9.80 możemy różnie interpretować. Być może popełniamy duży błąd systematyczny, nie uwzględniamy oporów ruchu wahadła albo tego, że nić nie jest „matematycznie idealna” – ma swoją masę i rozciąga się pod wpływem działających sił. Może być zupełnie inaczej – metoda jest dobra, błąd systematyczny jest mały w porównaniu z innymi – a wartość przyspieszenia w miejscu, w którym mierzymy rzeczywiście jest bliższa 9.80 m/s² niż 9.81 m/s². Wartość przyspieszenia zależy przecież od wysokości i miejsca, w którym pomiaru dokonujemy. Niepewność jest związana z różnymi wynikami, jakie otrzymaliśmy w pojedynczych pomiarach. Określają ją wzory, których podawał nie będę, bo nie są istotne dla naszych rozważań. W rzeczywistości trzy pomiary to stanowczo za mało.

Rozkład Gaussa

Większość zależności w naturze można wyrazić prostymi zależnościami. Właściwie wynika to tylko z naszego przyzwyczajenia do mechaniki klasycznej. W mechanice kwantowej zależności są bardziej skomplikowane. Rozkład określa jak często otrzymujemy wyniki o danej wartości lub w danym przedziale. Jest to mało precyzyjne określenie, ale wystarczy, aby intuicyjnie zauważyć pewne zależności na wykresie. Okazuje się, że im więcej pomiarów wykonamy, tym rozkład wyników będzie bliższy rozkładowi normalnemu Gaussa. Jeśli będziemy wykonywali przedmioty o określonej długości, to rozkład ich „prawdziwych” długości również będzie zbliżony do rozkładu Gaussa. (Mówimy tu o dokładnie zmierzonych wielkościach wielu „takich samych” przedmiotów, a nie pojedynczych pomiarach.) Podobnie dzieje się w przypadku innych wielkości, nie tylko fizycznych. Kształt wykresu wynika z faktu, że na te wielkości wpływa wiele losowych czynników. Intuicyjnie rozumując, mało prawdopodobne jest, że wszystkie z nich będą zwiększały mierzoną wartość. Bardziej prawdopodobna jest sytuacja, gdy część zwiększa wynik, a część zmniejsza. Zabawne w tym wszystkim jest to, że rozkład Gaussa jest opisany dość skomplikowanym wzorem, a dobrze opisuje często spotykane w naturze losowe wielkości.

Pewna ważna tabelka

Do opisu rozkładu Gaussa używamy parametru σ nazywanego odchyleniem standardowym oraz μ. Wielkość μ odpowiada położeniu wykresu, a σ opisuje jego kształt. Ciekawą własnością jest to, że w przedziale (μ-σ, μ+σ) znajduje się około 68,26% mierzonych wielkości. W przedziale (μ-2σ, μ+2σ) 95,44%. Mnożąc parametr σ przez współczynnik rozszerzenia k otrzymujemy kolejne stałe wartości – zostały one zaprezentowane są w tabelce. Wartości procentowe nie zależą ani od μ ani od σ, nazywane są one poziomem ufności 1-α.

Jak to wpływa na moje życie?

Większość przedmiotów, które nas otaczają, została wyprodukowana masowo – kubki, komputery, samochody… Ich parametry również określa rozkład normalny. Współczynnik rozszerzeniaokreśla jakość, z jaką zostały one wyprodukowane, a dokładniej jaka część przedmiotów spełnia warunki. W fabrykach nie sprawdza się wszystkich przedmiotów, a jedynie wybrane. Im wyższy współczynnik rozszerzenia, tym większą pewność mamy, że wyroby są na odpowiednim poziomie. Należy podkreślić, że tutaj interpretacja jest trochę inna, ale nadal wszystkim rządzą prawa metrologii i statystyki. Jeśli akceptujemy rozrzut 2σ, to znaczy, że 5% wyrobów będzie wadliwych. Jeżeli jesteśmy bardziej wymagający, używamy 3σ, wtedy niecałe 0,3% wyrobów będzie nieodpowiednich. W przypadku produkcji młotków możemy sobie pozwolić na niezbyt rygorystyczne kontrole. Natomiast w przypadku samochodów, a szczególnie elementów takich jak poduszki powietrzne czy układ hamulcowy jest inaczej. Sądzę, że większość z Was przyzna, że 95% zaufania w przypadku bezpieczeństwa to mało. Z drugiej strony uzyskanie wyższego poziomu ufności jest związane z większymi kosztami. Samochód powinien być bezpieczny, ale nikt nie kupi bezpieczniejszego (od strony technicznej) o ułamki procent samochodu, jeśli będzie kilkukrotnie droższy. Nie ma to sensu w obliczu niezbyt wysokiego poziomu wyobraźni i odpowiedzialności niektórych kierowców.

Wróćmy do pomiarów

Wykonywanie pomiarów na masową skalę jest drogie. Wymaga precyzyjnego sprzętu, wykwalifikowanego, doświadczonego personelu. Właśnie dlatego metrologia oraz systemy zarządzania jakością odgrywają dużą rolę w przemyśle. Dzięki wiedzy z zakresu metrologii możemy przewidzieć, jaki wpływ będą miały różne czynniki na nasz pomiar. Nie da się ukryć, że metrologia jest niezbyt ciekawą dziedziną. Rozważanie wpływu pozornie nieistotnych czynników jest skomplikowane, ale pozwala ocenić, które czynniki jednak musimy uwzględnić. Fizyka bez metrologii właściwie nie mogłaby istnieć, bo wynik pomiaru bez podanej niepewności jest bezwartościowy. Dopiero określenie, w jakim zakresie może się zmieniać, pozwala go wykorzystać, zarówno praktycznie jak i teoretycznie.

A jak z tą pogodą?

Mam nadzieję, że metrologia i meteorologia nie będą się myliły tym, którzy doczytali do końca. Obie dziedziny niewątpliwie się łączą, meteorologia opiera się na pomiarach temperatury, ciśnienia i innych. Jednak rzadko w prognozach pogody spotykamy oszacowanie niepewności – choćby poprzez podanie wartości minimalnej i maksymalnej. Wyobrażacie sobie pana w garniturze na tle mapy Polski mówiącego „jutro z 95% pewnością nie będzie padał deszcz”, „jutro o dziewiątej rano temperatura będzie wynosiła 11°C ± 2°C (niepewność standardowa)”. Z drugiej strony, jaki sens ma podawanie temperatury z dokładnością do jednego stopnia dla całego regionu i podpisywanie „przed południem”…? Jak widzicie połączenie tych dwóch dziedzin wypada „słabo”. A co powiedzieć o ich myleniu…?

Bibliografia: 

Arendarski J. Niepewność pomiarów, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2003